1. Найдите восьмой член геометрической прогрессии 27, -9, 32. Обусловьте 1-ый

1. Найдём знаменатель прогрессии.

q = 3 : (- 9) = - 9 : 27 = - 1/3.

Найдём значение восьмого члена ряда.

b₈ = 27 * (- 1/3)⁷ = - 3^3-7 = - 3^-4 = - 1/81.

Ответ: b₈ = - 1/81.

2. 

Запишем соотношения между обозначенными членами последовательности через её знаменатель.

b₄ * q² b₄ = - 36.

b₃ * q² b₃ = 18.

Подставим в первое уравнение значение четвёртого члена, выраженное через 3-ий и знаменатель. Решим полученную систему уравнений.

b₃ * q³ b₃ * q = - 36.

b₃ * q² b₃ = 18.

q(b₃ * q² b₃) = - 36.

q * 18 = - 36.

q = - 36 : 18 = - 2.

b₃ * (- 2)² b₃ = 18.

4b₃ b₃ = 18,

3b₃ = 18.

b₃ = 6.

Найдём 1-ый член ряда.

6 = b₁ * (- 2)².

b₁ = 6 : 4 = 1,5.

Ответ: b₁ = 1,5; q = - 2.

5. 0,(6) = 2/3. 

Считаем количество цифр в периоде десятичной дроби. Означаем количество цифр буквой k. У нас k = 1.

Считаем количество цифр, стоящих после запятой, но до периода десятичной дроби. Означаем количество цифр буквой m. У нас m = 1.

Записываем все числа после запятой (включая цифры из периода) в виде естественного числа.

Нули сначала, до первой означающей числа, отбрасываем. Означаем приобретенное число буковкой a.

a = 34.

Сейчас записываем все числа, стоящие после запятой, но до периода, в виде естественного числа. Нули отбрасываем. Означаем приобретенное число буковкой b.

b = 3.

Подставляем найденные значения в формулу, где Y целая часть неисчерпаемой повторяющейся дроби. У нас Y = 0.  https://bit.ly/2B07rAB 

0,3(4) = (34 3)/90 = 31/90.

Ответ: 0,3(4) = 31/90.

Запишем выражение для суммы трёх членов геометрической прогрессии.

35 =  b₁ * (1 q³)/(1 q).

При этом b₂ = b₁ * q и b₃ = b₁ * q².

Составим выражение для трёх членов арифметической прогрессии через её разность.

b₁ * q (b₁ + 2) = (b₁ * q² 7) b₁ * q.

Решим полученную систему.

Из первого уравнения выразим b₁.

b₁ = 35/(1 + q + q²).

Упростим 2-ое уравнение.

b₁ * q² b₁ * q b₁ * q + b₁ 5 = 0.

b₁ * q² 2b₁ * q + b₁ 5 = 0.

Вынесем за скобки b₁.

b₁ * (q² 2 * q + 1) 5 = 0.

b₁ * (q² 2 * q + 1) 5 = 0.

Подставим 1-ое равенство во второе.

35/(1 + q + q²) * (q² 2 * q + 1) 5 = 0.

Избавимся от дробей.

5 * (1 + q + q²) + 35 * (q² 2 * q + 1) = 0.

Раскроем скобки.

5 5q 5q² + 35q² 70q + 35 = 0.

30q² 75q + 30 = 0.

Сократим на 15.

2q² 5q + 2 = 0.

Решим квадратное уравнение.

D = (5 * 5 4 * 2 * 2) = (25 - 16) = 3.

q_1,2 = (5 3)/4.

При q₁ = 2 1-ый член прогрессии b₁ = 35/(1 + 2 + 4) = 5.

При q₂ = 1/2 значение b₁ = 35/(1 + 1/2 + 1/4) = 35 : 7/4 = 5 * 4 = 20.

Ответ: 1-ый вариант 5; 10; 20; 2-ой вариант прогрессии 20; 10; 5.