Решите неравенство. (Log 0,5 x)^2 - 3log 0,5 x - 4

1. Выполним подмену у = log _0,5 x , у gt; 0 и решим квадратное уравнение:

(log _0,5 x) - 3log _0,5 x - 4 0;

у - 3y - 4 = 0;

Вычислим  дискриминант:

D = b - 4ac = ( - 3) - 4 * 1 * ( - 4) = 9 + 16 = 25;

D 0, означает квадратное уравнение имеет два корня:

y1 = ( - b - D) / 2a = ( 3 - 25) / 2 * 1 = ( 3 - 5) / 2 = -  2 / 2  = - 1;

y2 = ( - b + D) / 2a = ( 3 + 25) / 2 * 1 = ( 3 + 5) / 2 = 8 / 2  = 4;

+        -        +

---(- 1)---(4)---

y [ - 1; 4];

2. Составим систему уравнений:

- 1  y 4;

y gt; 0;

Означает, 0 y 4;

3. Подставим нашу переменную назад:

у = log _0,5 x;

0 log _0,5 x  4;

4. Преобразуем числовой коэффициент справа и слева в логарифм:

4 =  4log _0,5 0,5 = log _0,5 0,5 ⁴;

0 = log _0,5 1

log _0,5 1 log _0,5 x  log _0,5 0,5 ⁴;

5. Заметим, что основания логарифмов 0 lt; 0,5 lt; 1. Из равенства основания логарифмов следует:

1  x  0,5 ⁴;

1  x  0,0625;

х  [0,0625; 1];

Ответ: х  [0,0625; 1].