Log2(x-3)(x+5)+log2(x-3\x+5)=2

1. Найдем ОДЗ:

log ₂ (x - 3)(x + 5) + log ₂ ((x - 3)/(x + 5)) = 2;

(x - 3)(x + 5) gt; 0;

(x - 3)/(x + 5) gt; 0;

Воспользуемся способом промежутков:

1) х - 3 = 0;

х1 = 3;

2) х + 5 = 0;

х2 = - 5;

  +            -           +

----( - 5)-----(3)---

х (- ; - 5) (3; + );

1. Основания логарифмов одинаковы, поэтому воспользуемся свойством творения логарифма:

log ₂ (x - 3)(x + 5) * ((x - 3)/(x + 5)) = 2;

log ₂ (x - 3)(x - 3) = 2;

1. Преобразуем числовой коэффициент справа в логарифм:

2 = 2 * log ₂ 2²  = log ₂ 4;

log ₂ (x - 3)(x - 3) = log ₂ 4;

1. Из равенства основания логарифмов следует:

(x - 3)(x - 3) = 4;

х - 6x + 9 - 4 = 0;

х - 6х + 5 = 0;

Вычислим  дискриминант:

D = b - 4ac = ( - 6) - 4 * 1 * 5 = 36 - 20 = 16;

D 0, значит:

х1 = ( - b - D) / 2a = (6 - 16) / 2 * 1 = (6 - 4)/2 = 2 / 2 = 1, не подходит по ОДЗ;

х2 = ( - b + D) / 2a = (6 + 16) / 2 * 1 = (6 + 4)/2 = 10 / 2 = 5;

Ответ: х = 5.