1) 5^(2x+1)+5^(1-2x)-31(5^x+5^(-x))+36=0 (не знаю как решать,подсказка в заданиии: введение новейшей переменной)

1) Cделаем подмену переменных:

5^x + 5^-x =y;

Возведём у в квадрат:

y² = 5^{2 х}+ 5 ^{- 2 x} +10;

Умножим обе доли равенства на 5:

5 y² = 5^{2 х + 1}+ 5^{1 - 2 x} +10;

5^{2 х + 1}+ 5^{1 - 2 x} = 5 y² - 10

5^{2 х + 1}+ 5^{1 - 2 x} -31 (5^x + 5^-x) + 36 = (5 y² - 10) - 31 y + 36 = 0;.

5 y² - 31 y + 26 = 0;

y = (31 (961 - 520)) / 10 = (31 21) / 10

a) y = 5,2 = 5^x + 5^-x

Умножим обе части равенства на 5^x:

5^{2 x} - 5,2 5^x +1 = 0;

Решаем, как квадратное уравнение от переменной 5^x:

5^x = 2,6 (6,76 - 1) = 2,6 2,4

5^x = 5; x₁ = 1;

5^x = 0,2 = 1/5; x₂ = - 1.

b) y = 1 = 5^x + 5^-x

Умножим обе части равенства на 5^x:

5^{2 x} - 5^x + 1 = 0;

Решаем, как квадратное уравнение от переменной 5^x:

5^x = (-1 (1 - 4)) / 2 = (-1 -3) / 2 - реальных решений нет.

Конечно:

x₁ = 1;

x₂ = -1,

2) Cделаем подмену переменных:

(sinx)² = y;

Тогда:

(cosx)² = 1 - у.

Получим уравнение:

81^y + 81^{1 - y} = 30;

Умножим обе части равенства на 81^y:

81^2y + 81 = 30 * 81^y;

81^2y - 30 * 81^y + 81 = 0;

Решаем, как квадратное уравнение от переменной 81^y:

81^y = 15 (225 -81) = 15 12;

a) 81^y = 27;

3^{4 y} = 3³;

4 y = 3;

y₁ = 3/4 = (sinx)²

sin x = (3) / 2;

x₁ = Pi/3 + 2 Pi k;

x₂ = Pi - Pi/3 +2 Pi k = - Pi/3 + Pi ( 2 k + 1).

b) 81^y = 27;

3^{4 y} = 3;

4 y = 1;

y = 1/4 = = (sinx)²

sin x = 1/ 2;

x₃ = Pi/6 + 2 PI k;

x₄ = Pi - Pi/6 + 2 PI k = - Pi/6 + Pi ( 2 k + 1).