Решите уравнение (5/sin^2x) -(9/cos(7П/2+x)) +4=0

1. Воспользуемся формулами приведения:

5/sin x -9 cos (7/2 + x) + 4 = 0;

а) cos (7/2 + x);

- функция меняется на обратную;

- угол (7/2 + x) находится в четвертой четверти, косинус положительный;

cos (7/2 + x) = sin х;

1. Подставим приобретенные значения и приведем к общему знаменателю:

5/sin x - 9/sin х + 4= 0;

(5 - 9sin х + 4sin x)/sin x = 0;

(4sin x - 9sin х + 5)/sin x = 0;

sin x =/= 0;

sin x =/= 0;

4sin x - 9sin х + 5 = 0;

1. Найдем корешки, решив квадратное уравнение:

Выполним подмену sin x = n, n 1:

4n - 9n + 5 = 0;

Вычислим  дискриминант:

D = b - 4ac = ( - 9) - 4 * 4 * 5 = 81 - 80 = 1;

D 0, означает:

n1 = ( - b - D) / 2a = ( 9 + 1) / 2 * 4 = ( 9 + 1) / 8 = 10 /8 = 1 1/4, не подходит по условию подмены;

n2 = ( - b + D) / 2a = ( 9 - 1) / 2 * 4 = ( 9 - 1) / 8 = 8 /8 = 1;

Тогда:

если n = 1, то:

sinx = 1;

х1 = /2 + 2n, n  Z;

Ответ: х1 = /2 + 2n, n  Z.