2sin^2x+3sinx=2 2cos^2x-5cosx=3

1) Перенесем все значения в левую часть:

2sinx + 3sinx = 2;

2sinx + 3sinx - 2= 0;

Найдем корни, решив квадратное уравнение:

Выполним замену sinx = у, y 1:

2y + 3y - 2 = 0;

Вычислим  дискриминант:

D = b - 4ac = ( 3) - 4 * 2 * ( - 2) = 9 + 16 = 25;

D 0, означает:

у1 = ( - b - D) / 2a = ( - 3 - 25) / 2 * 2 = ( - 3 - 5) / 4 = - 8 / 4 = - 2, не подходит по условию подмены;

у2 = ( - b + D) / 2a = ( - 3 + 25) / 2 * 2 = ( - 3 + 5) / 4 = 2 / 4 = 1/2;

Тогда, если у2 = 1/2, то:

sinx =1/2;

x = ( - 1) ⁿ arcsin( 1/2) + n, n  Z;

x1 = ( - 1)ⁿ /6 + n, n  Z;

Ответ: x1 = ( - 1)ⁿ /6 + n, n  Z.

2) Перенесем все значения в левую часть:

2cosx - 5cosx = 3;

2cosx - 5cosx - 3 = 0;

Найдем корешки, решив квадратное уравнение:

Выполним подмену сosx = у, y 1:

2y - 5y - 3 = 0;

Вычислим  дискриминант:

D = b - 4ac = ( - 5) - 4 * 2 * ( - 3) = 25 - 24 = 49;

D 0, означает:

у1 = ( - b - D) / 2a = (5 - 49) / 2 * 2 = (5 - 7) / 4 = - 2 / 4 = - 1/2; 

у2 = ( - b + D) / 2a = (5 + 49) / 2 * 2 = (5 + 7) / 4 = 12 / 4 = 3, не подходит по условию подмены;;

Тогда, если у1 = - 1/2, то:

сosx = - 1/2;

х = arccos( - 1/2) + 2n, n  Z;

х = arccos(1/2) + 2n, n  Z;

х = /3 + 2n, n  Z;

Ответ: х = /3 + 2n, n  Z.