Алиса отметила на отрезке 19 точек, разбивающих его на 20 одинаковых

Двенадцать точек Антона разобьют двенадцать отрезков Алисы и мы получим по паре отрезков различной длины - всего 24. Но число разных отрезков следует уменьшить в два раза, ведь например 2-ой и предпоследний отрезки Алисы будут разбиты точками Антона идиентично и так будет всюду.Означает мы получаем 12 отрезков разной длины при разбиении отрезков Алисы и еще несколько отрезков одинаковой длины - отрезки Алисы не разбитые точками Антона. Всего получаем 13 отрезков разной длины.

Все точки Антона в обязательном порядке разобьют некие отрезки Алисы на две доли. Так как 13 и 20 - обоюдно простые числа, то одинаковых отрезков среди образовавшихся не будет, за исключением симметричных друг другу: первый и последний, 2-ой и предпоследний и так дальше. Итого 12 отрезков.
Не считая этого, на некие отрезки Алисы не попадут точки Антона, так как таких отрезков 20, а точек у Антона всего 12. Тогда появляется еще один новый отрезок, 13-ый по счету.
Ответ: 13