обоснуйте что к каждому подмножеству из 100 элементов 1,2...2016 можно добавить

Лемма (Холл). Пусть есть k мальчишек и некоторое количество девочек, при этом неважно какая группа из m мальчишек знает не наименее, чем m девочек (считаем, что группа знает девченку, если это девченку знает желая бы один мальчишка из группы). Тогда каждому мальчугану можно отыскать жену посреди знакомых ему девченок так, чтобы любая девочка была невестой не более, чем 1-го мальчугана.
Подтверждение. Пусть еще не все мальчишки - женихи, на первом шаге выберем хоть какого мальчугана без жены, а он пригласит всех девченок, с которыми он знаком. На каждом следующем шаге будем прибавлять в рассмотрение женихов всех избранных девочек, а они тоже пригласят всех девочек, с которыми они знакомы.
Тогда:
1. На каком-то шаге мы выберем девченку без жениха (всякий раз, если в группе есть m мальчишек, будет не наименее m девочек. Если всё время у всех девченок будут женихи, то одинаково либо поздно в группе будут все k мальчишек и, соответственно, не наименее k девочек. Ну а так как невест не больше k - 1, то желая бы у одной не будет жениха).
2. Обнаружив девченку без жениха, поженим её с тем, кто её пригласил. Оставшуюся без пары девченку поженим с тем, кто пригласил её, и так далее. В конце концов мальчишка, вначале не умевший пары, получит жену, а все мальчишки - женихи, останутся женихами.
Повторяя сходственные операции можно отыскать всем юношам пару.

_____________________________________________

А сейчас к задачке ;)
Пусть 100-элементные подмножества - юноши, 101-элементные подмножества - девченки. Будем разговаривать, что мальчишка знает девченку, если они отличаются на один элемент (к примеру, 1, 2, ..., 100 знает 1, 2, ..., 101). 
Заметим, что любые m мальчишек суммарно знают не менее m девочек: каждый знает 1916 девченок, а общих знакомых девченок, посчитанных два раза, на каждого не больше 101.
Тогда по лемме каждому мальчику можно отыскать пару, т.е. 101-элементное подмножество, которое и нужно по условию.