Отыскать решение задачки Коши и проверить. Даю 100 баллов

Попробуем угадать вид решения.

Заметим, что система перебегает в себя при сдвиге x на , значит, решение периодическая по x функция с периодом, кратным . На уровне мыслей разложим это решение в ряд Фурье по 2x. Различные слагаемые в этом ряду ортогональны; так как в системе есть только слагаемые, пропорциональные 1 и cos 2x, то в решении все другие коэффициенты будут тождественно одинаковы нулю.

Будем отыскивать решение в виде u(x, t) = A(t) + B(t) cos 2x. Подставляем:

Приравнивая скобки к нулю, получаем две задачки Коши на коэффициенты A и B.

1) A(t):

2) B(t):

Общее решение уравнения B(t) = С cos 4t + D sin 4t + 1/32. Подставив решение в начальные условия, обретаем, что C = -(1/32 + 1/2) = -17/32; D = 1/2 : 4 = 1/8.

Итак, B(t) смотрится так:

Конечно

Проверка: