При каком значении а система неравенств имеет единственное решение: (20 баллов),

Осмотрим 1-ое неравенство:

3/(x-a) gt;= 1

если x-a gt; 0, т.е. xgt;a:

3/(x-a) gt;= 1

3 gt;= x-a

x =lt; 3+a

a lt; x lt;= a+3

если x-a lt; 0, т.е. xlt;a:

3/(x-a) gt;= 1

3 lt;= x-a

x gt;= 3+a

xlt;a и xgt;=a+3 - нет решений.

Решение первого неравенства:

a lt; x lt;= a+3

Осмотрим второе неравенство:

x-2a-2lt;=1

если x-2a-2gt;=0, т.е. x gt;= 2a+2:

x-2a-2lt;=1

xlt;=2a+3

2a+2lt;=xlt;=2a+3

если x-2a-2gt;=0, т.е. x lt; 2a+2:

-x+2a+2lt;=1

xgt;=2a+1

2a+1lt;=xlt;2a+2

Решение второго неравенства: 2a+1lt;=xlt;=2a+3

Решение системы - скрещение промежутков:

alt;xlt;=a+3

2a+1lt;=xlt;=2a+3

Решением будет одна точка, если a+3 = 2a+1

a=2

Ответ: a=2

(я выбросил случай x-a = 0, т.к. в первом неравенстве было бы деление на ноль, и значение левой части неравенства не определено. (Там предел слева и справа при x -gt; a различных знаков), но если определиться, что мы разглядываем положительную ветвь функции, и включим эту точку (т.е. скажем, что 3/(x-a) -gt; +inf при x -gt; a), то появится случай 2a+3 = a либо a = -3) )