Биссектрисы АМ и ВК равностороннего треугольника АВС переекаются в точке О.

Опишем окружность вокруг треугольника АВС, тогда АО = R радиус окружности.
Сейчас рассмотрим окружность снутри треугольника, ОМ = r радиус вписанной окружности в треугольник.
Пусть стороны треугольника АВС равны а.
Радиус описанной окружности вокруг равностороннего треугольника по аксиоме синусов равен:
R = a/(2*sin), и так как треугольник АВС равносторонний, то все углы равны 60 градусов, означает = 60 градусов.
R = a/(2*sin60) = a/(2*3/2) = a/3.
Найдем радиус вписанной окружности из треугольника АОK по аксиоме Пифагора:
ОК = r, AO = R, АК = а/2.
Тогда
r^2 = R^2 (a^2)/4;
r^2 = (a^2)/3 (a^2)/4;
r^2 = (a^2)/(3*4);
Означает, r = a/(23).
Таким образом, АО/ОМ = R/r = (a/3) / (a/(23)) = 2:1.
Утверждение подтверждено.