2. В основании четырёхугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со гранями

Для решения осмотрим набросок (https://bit.ly/2RqulaR).

Осмотрим треугольник АSВ, по значения длин его сторон производится равенство: SB² = SA² + AB².

85 = 21 + 64. В треугольнике выполняется аксиома Пифагора, означает треугольник равносторонний, угол SАB = 90⁰.

Осмотрим треугольник АSД, по значения длин его сторон производится равенство: SД² = SA² + AД².

57 = 21 + 36. В треугольнике производится аксиома Пифагора, значит треугольник равносторонний, угол SАД = 90⁰.

Так как АД и АВ принадлежат одной плоскости, то SA параллельна плоскости АВС, а следовательно есть вышина пирамиды.

Определим длину диагонали АС в основании пирамиды. АС² = АД² + СД² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100.

АС = 10 см.

Из прямоугольного треугольника АSC определим длину гипотенузы SC.

SC² = SA² + AC² = 21 + 100 = 121.

SC = 11 см.

Через точку пересечения диагоналей О, проведем отрезок ОН параллельный SC. Так как точка О середина АС и ОН параллельна ОС,  то ОН средняя линия треугольника АSС и одинакова половине длины SС.

ОН = SC / 2 = 11 / 2 = 5,5 см.

Отрезок ОД равен половине диагонали ВД. ОД = ВД / 2 = АС / 2 = 10 / 2 = 5 см.

Из треугольника АНД определим длину гипотенузы АД.

НД² = АН² + АД² = (21/2)² + 6² = 21/4 + 36 = 165 / 4.

НД = 165 / 2 см.

Оз треугольника ДНО, по аксиоме косинусов определим угол НОД.

НД² = ОН² + ОД² 2 * ОН * ОД * CosНОД.

(165 / 2)² = 5,5² + 5² 2 * 5,5 * 5 * CosНОД.

55 * CosНОД = 55,25 41,25 = 14.

CosНОД = 14 / 55 = 0,25.

Угол НОД = arcos 0,25.

Ответ: Угол НОД = arcos 0,25.