Есть ли 5 разных естественных чисел таких, что сумма их оборотных

Такие числа есть. Найдем их. Возьмем 2 естественных числа 3 и 6. Сумма их оборотных величин одинакова:
1/3 + 1/6 = 2/6 + 1/3 = 3/6 = 1/2.
Последующим возьмем естественное число 4. Сумма оборотных величин 3-х чисел будет одинакова:
1/2 + 1/4 = 2/4 + 1/4 = 3/4.
Нам осталось подобрать два естественных числа, таких, чтобы сумма их оборотных величин была бы одинакова 1 - 3/4 = 1/4 и чтоб эти два числа отличались от уже избранных 3, 6 и 4.
Обозначим искомые числа через х и у. Для их должно выполнятся условие:
1/x + 1/y = 1/4
либо
x + y = xy/4.
Будем выбирать х, выбирая значения этой переменной, кратные 4.
1) х = 4 не подходит, т.к. число 4 выбрано нами ранее.
2) х = 8. Обретаем y, подставляя значение х = 8 в уравнение x + y = xy/4.
8 + у = 2у,
у = 8.
х = 8 не подходит, т.к. у также равен 8, а по условию задачки все 5 чисел обязаны быть различными.
3) х = 12. Обретаем y, подставляя значение х = 12 в уравнение x + y = xy/4.
12 + у =6у,
у = 12/5.
х = 12 не подходит, т.к. у не является естественным числом.
4) х = 16. Обретаем y, подставляя значение х = 16 в уравнение x + y = xy/4.
16 + у =4у,
у = 16/3.
х = 16 не подходит, т.к. у не является естественным числом.
5) х = 20. Обретаем y, подставляя значение х = 20 в уравнение x + y = xy/4.
20 + у =5у,
у = 5.
Данные значения x и у подходят.
Таким образом, разыскиваемые числа это 3, 4, 5, 6, 20.

Ответ: 1