(х-2)(х-3)(х+4)(х+5)=1320

   1. Умножим первый множитель с четвертым, второй - с третьим:

• (х - 3)(х - 2)(х + 4)(х + 5) = 1320;
• (х^2 - 3x + 5x - 15)(х^2 - 2x + 4x - 8) = 1320;
• (х^2 + 2x - 15)(х^2 + 2x - 8) = 1320;
• (х^2 + 2x - 11,5 - 3,5)(х^2 + 2x - 11,5 + 3,5) = 1320.

   2. Обозначим трехчлен:

• y = х^2 + 2x - 11,5;
• (y - 3,5)(y + 3,5) = 1320;
• y^2 - 3,5^2 = 1320;
• y^2 = 1320 - 12,25;
• y^2 = 1320 - 12,25;
• y^2 = 1307,75;
• y = 1307,75.

   3. Значение x:

      х^2 + 2x - 11,5 = 1307,75;

      х^2 + 2x - (11,5 1307,75) = 0.

   a) х^2 + 2x - (11,5 - 1307,75) = 0;

      D/4 = 1 + 11,5 - 1307,75 = 12,5 - 1307,75 lt; 0, нет решения;

   b) х^2 + 2x - (11,5 + 1307,75) = 0;

      D/4 = 1 + 11,5 + 1307,75 = 12,5 + 1307,75 = Q;

      x = -1 Q.

   Ответ: -1 Q, где Q = 12,5 + 1307,75.

Если решать уравнение (х - 2)(х - 3)(х + 4)(х + 5) = 1320 стандартным способом (раскрывая скобки), то видно, что получится уравнение четвертой ступени. Попробуем найти иной метод.

• Можно заметить, что ((-2) + 4) равняется двум и ((-3) + 5) также приравнивается двум.
• Можно предположить, что если раскрыть скобки, получатся квадратные уравнения с равными коэффициентами.
• Раскрываем скобки (х - 2)(х + 4) = х - 2х + 4х - 8 = х + 2х - 8.
• Раскрываем скобки (х - 3)(х + 5) = х - 3x + 5x - 15 = х + 2x - 15.

Выходит уравнение (х + 2х - 8)(х + 2x - 15) = 1320. Видно, что выражение (х + 2x) повторяется в обоих скобках.

Введем новую переменную а

Пусть (х + 2x) = а.

Выходит новое уравнение (а - 8)(а - 15) = 1320.

Раскрываем скобки и подводим сходственные слагаемые:

а - 8а - 15а + 120 - 1320 = 0.

а - 23а - 1100 = 0.

Решаем квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

a = 1; b = -23; c = -1100;

D = b - 4ac; D = (-23) - 4 * 1 * (-1100) = 529 + 4400 = 5929 (D = 77);

x = (-b D)/2a;

а₁ = (23 - 77)/2 = -54/2 = -27.

а₂ = (23 + 77)/2 = 100/2 = 50.

Возвращаемся к замене 

х + 2x = а.

1) а = -27.

х + 2x = -27; х + 2x + 27 = 0.

D = 4 - 108 = -104 (D lt; 0, корней нет).

2) х + 2x = 50; х + 2x - 50 = 0.

D = 4 + 200 = 204 (D = 204 = 251).

х₁ = (-2 - 251)/2 = -1 - 51.

х₂ = -1 + 51.