Log по основанию x^2 + 2 из 3х+6 больше либо одинаково

log_{(x + 2)}(3х + 6)  1.

1) Разберем ОДЗ:

х + 2 gt; 0; x gt; -2 (х - хоть какое число).

х + 2 не равен 1; x не равен -1 (х - хоть какое число).

3х + 6 gt; 0; 3x gt; -6; x gt; -2.

2) Представим единицу как логарифм с основанием (х + 2):

log_{(x + 2)}(3х + 6)  log_{(x + 2)}(х + 2).

3) Так как значение х + 2 всегда больше единицы, выходит неравенство:

3х + 6 х + 2.

-х + 3х + 6 - 2 0.

-х + 3х + 4 0.

Умножим неравенство на (-1), знак неравенство перевернется:

х - 3х - 4 0.

4) Рассмотрим функцию у = х - 3х - 4, это квадратичная парабола, ветви ввысь.

Найдем нули функции: у = 0; х - 3х - 4 = 0.

D = 9 + 16 = 25 (D = 5);

х₁ = (3 - 5)/2 = -2/2 = -1.

х₂ = (3 + 5)/2 = 8/2 = 4.

Отмечаем на числовой прямой точки -1 и 4, схематически рисуем параболу, проходящую через эти точки (ветви ввысь). Неравенство имеет символ 0, означает решением неравенства будет просвет, где парабола находится ниже прямой, то есть [-1; 4]. Подходит по ОДЗ.

Ответ: х принадлежит интервалу [-1; 4].