Обследуйте функцию y=1/3x^3-x^2-3x+1/3

ОДЗ функции y = 1/3x³ - x² - 3x + 1/3 - вся числовая ровная.

Функция ни четная и ни нечетная.

Для нахождения экстремумов функции найдем первую производную,

y = (1/3 x³ - x² - 3x + 1/3) = x² - 2x 3.

Найдем нули производной: x² + 2x - 3 = 0 D = b² - 4ac 2² - 4 * 1 * (-3) = 16; 

D = 4; x_1,2 = (-b  D)/(2a); x₁ = (-2 + 4)/2 = 2/2 = 1; x₂ = (-2 - 4)/2= -6/2 = -3.

Экстремальное точки (-3) и 1 делят область определения функции на промежутки:

 (-; -3) U (-3; 1) U (1; +).

На 1 и 3 промежутках y gt;0 функция вырастает, на 2 промежутке y lt;0, функция убывает. 

В точке х = -3 производная меняет символ с + на -, это означает точка x = 3 является точкой максимума. В точке х = 1 производная меняет символ с - на +, это значит точка x = 1 является точкой минимума.

Ответ. Максимум функции в точке х = -3; минимум функции в точке х = 1.