2*(3^(x+1))-5*(9^(x-2)) = 81

Расписываем ступени:

2 * 3^{(x + 1)} - 5 * 9^{(x - 2)} = 81.

2 * 3^x * 3 - 5 * 9^x * 9^(-2) = 81.

6 * 3^x - 5 * 9^x * 1/81 = 81.

6 * 3^x - 5/81 * (3²)^x = 81.

Переносим все в левую часть уравнения:

6 * 3^x - 5/81 * (3^х)² - 81 = 0.

Произведем подмену, пусть 3^x = а.

6а - 5/81а - 81 = 0.

Приведем данное уравнение к стандартному виду квадратного уравнения и умножим на (-1).

5/81а - 6а + 81 = 0.

D = (-6) - 4 * 5/81 * 81 = 36 - 20 = 16 (D = 4);

а₁ = (6 - 4)/(2 * 5/81) = 2/(10/81) = 2 * 81/10 = 81/5.

а₂ = (6 + 4)/(10/81) = 10 * 81/10 = 81.

Вернемся к замене 3^x = а.

а = 81/5; 3^x = 81/5; х = log₃(81/5) = log₃81 - log₃5 = 4 - log₃5.

а = 81; 3^x = 81; 3^x = 3⁴; х = 4.

Ответ: корешки уравнения одинаковы 4 и (4 - log₃5).