Какие остатки могут получиться при дроблении квадрата целого числа на 3

Любое целое число А можно представить в виде:

А = 3 * n + r, где n - целое число, а r - остаток от деления на 3.

Очевидно, что вероятные значения остатка r:

0, 1, 2.

Исследуем, как меняется остаток от дробленья на 3 при возведении А в квадрат:

А^2 = (3 * n + r)^2 = 9 * n^2 + 6 * n * r + r^2 = 3 * ( 3 * n^2 + 2 * n * r) + r^2.

Как следует, остаток от деления на 3 числа А совпадает

с остатком от разделения на 3 числа r^2.

Вероятные значения r^2:

1) r = 0, r^2 = 0. Остаток от деления на 3 равен 0.

2) r = 1, r^2 = 1. Остаток от деления на 3 равен 1.

2) r = 2, r^2 = 4. Остаток от деления на 3 равен 1.

Как следует, вероятные остатки от деления квадрата целого числа на 3:

0 либо 1.

Остаток от дробленья квадрата целого числа на 3 не может быть равен 2.