(2х в 3 ступени)в пятой ступени(2х во 2-ой ступени)в четвёртой степени

Упростим уравнение.

(2 * х³)⁵ = (2 * х³) * (2 * х³) * (2 * х³) * (2 * х³) * (2 * х³) = 32 * х¹⁵.

(2 * х²)⁴ = (2 * х²) * (2 * х²) * (2 * х²) * (2 * х²) = 16 * х⁸.

(4 * х⁵)⁴ = (4 * х⁵) * (4 * х⁵) * (4 * х⁵) * (4 * х⁵) = 256 * х²⁰.

Начальное уравнение воспримет вид:

(2 * х³)⁵ * (2 * х²)⁴ / (4 * х⁵)⁴ = 54.

32 * х¹⁵ * 16 * х⁸ / 256 * х²⁰ = 54.

512 * х¹⁵ * х⁸ / 256 * х²⁰ = 54.

2 * х¹⁵ * х⁸ / х²⁰ = 54.

При умножении степеней с схожими основаниями показатели прибавляются, а основание остается постоянным. То есть: аⁿ * а^m = a^{n + m} .

Потому:

2 * х¹⁵⁺⁸ / х²⁰ = 54.

2 * х²³ / х²⁰ = 54.

При делении ступеней с схожими основаниями характеристики отнимаются, а основание остается постоянным. То есть: аⁿ / а^m = a^{n - m} .

Получим:

2 * х^23-20 = 54.

2 * х³ = 54.

х³ = 54 / 2 = 27.

Так как ступень в уравнении равна 3 и не содержит чётного числа в числителе, то уравнение будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень третьей ступени из обеих долей уравнения:
³х³ = ³27
Получим ответ: x = 3.

Выполним проверку:

(2 * 3³)⁵ * (2 * 3²)⁴ / (4 * 3⁵)⁴ = 54.

(2 * 9)⁵ * (2 * 9)⁴ / (4 * 243)⁴ = 54.

18⁵ * 18⁴ / 972⁴ = 54.

18⁹ / 972⁴ = 54.

Ответ: для уравнения (2 * х³)⁵ * (2 * х²)⁴ / (4 * х⁵)⁴ = 54 решением является х = 3.