19*4^x+4^-xamp;lt;20 как решать

1. Воспользуемся свойством ступеней и преобразуем показательное неравенство:

19 * 4 ^х + 4 ^{- х}  lt; 20;

19 * 4 ^х + 1/(4 ^х) lt; 20;

1. Выполним замену у = 4 ^х , у gt; 0:

19у + 1/у lt; 20;

19у + 1/у - 20 lt; 0;

19у - 20у + 1 = 0;

3. Решим квадратное уравнение:

Вычислим  дискриминант:

D = b - 4ac = ( - 20) - 4 * 1 * 19 = 400 + 76 = 324;

D 0, значит:

y1 = ( - b - D) / 2a = ( 20 - 324) / 2 * 19 = ( 20 - 18) / 38 = 2 / 38  = 1/19;

y2 = ( - b + D) / 2a = ( 20 + 324) / 2 * 19 = ( 20 + 18) / 38 = 38 / 38  = 1;

+        -        +

---(1/19)---(1)---

y (1/19; 1);

1. Составим систему уравнений:

1/19 lt; y lt; 1;

y gt; 0;

1. Подставим нашу переменную вспять:

у = 4 ^х ;

1/19 lt; 4 ^х  lt; 1;

1) 4 ^х  lt; 1;

4 ^х  lt; 4 ⁰;

х lt; 0;

2) 1/19 lt; 4 ^х;

log ₄ 1/19 lt; log ₄ 4 ^х;

log ₄ 1/19 lt; xlog ₄ 4;

log ₄ 1/19 lt; x;

log ₄ 1/19 lt; x lt; 0;

Означает, х  (log ₄ 1/19; 0);

Ответ: х  (log ₄ 1/19; 0).