(og x по основанию 0.5 ) ^2 + 3log x основанию

(log_0,5 x)² + 3log_0,5 х - 4 0.

ОДЗ: по определению логарифма х gt; 0.    

Создадим подмену переменной log_0,5 х = t, получим квадратное неравенство:

t² + 3t - 4 0, 

D = 25 gt; 0 - 2 реальных корня.

t1 = 1 и  t2 = - 4.

Сделаем обратную подмену:

log_0,5 х = 1  х = 0,5¹ = 0,5;

log_0,5 х = - 4 х = 0,5^{- 4} = 16.

Разобьём координатную прямую (с учетом ОДЗ) этими точками на три промежутка (0; 0,5], [0,5; 16], [16; +). В этих промежутках функция имеет знаки + - +. Нашему условию удовлетворяет интервал [0,5; 16].

Ответ: [0,5; 16].