1. Показать,что функция F(x)=e^2x+x^3-cos x является первообразной для функции f(x)=2e^2x+3x^2+sin x

1. Если данная функция F(x) является первообразной для функции f(x), то F(x) = f(x) на всей числовой оси.

F (x) = (e^{2 x} + x³ - cos x) = (e^{2 x}) + (x³) - (cos x) = 2 e^{2 x} + 3 x² + cos x = f(x).

Как следует, функция F(x) является первообразной для функции f(x).

1. F(x) = f(x) dx = (3 x² + 2 x + 3) dx = 3 x² dx+ 2 x dx + 3 dx =

x³ + x² - 3 x + C.

По условию, первообразная проходит через точку М (1;-2):

F(1) = - 2 = 1+ 1 - 3 + C.

С = - 1.

Следовательно,

F(x) = x³ + x² - 3 x - 1.

1. Отыскать площадь фигуры:

1) Найдём точки скрещения параболы с осью х:

f(x) = х² + х - 6 = 0;

x = (- 1 (1 + 24)) / 2 = (- 1 5) / 2.

x₁ = 2;

x₂ = - 3.

2-ая производная

f (x) = (х² + х - 6) = (2 х + 1) = 2 gt; 0;

Как следует, парабола неровностью вниз.

Площадь фигуры есть часть параболы ниже оси х:

^-3₂(х² + х - 6) dx = (х³/3 + х²/2 - 6 х + С)^-3₂ =

(- 9 + 9/2 +18 + С) - (8/3 + 2 - 12 + С) = 125/6.

3) y = x² + 1 и  y = 10.

Найдём точки скрещения параболы с прямой y = 10.

x² + 1 = 10;

x² = 9;

x₁ = 3;

x₂ = - 3.

Искомая площадь одинакова:

площади прямоугольника S_пр. = (х₁ - х₂) * 10 = 60 минус площади под параболой от х₁ до х₂ и ограниченной с низу осью х.

Площадь под параболой:

S_параб. = (x² + 1) dx = (x³/3 + x) = (9 + 3) - (-9 - 3) = 24.

Разыскиваемая площадь:

S_пр. - S_параб. = 60 - 24 = 36.