Климат становился то теплее, то холоднее (теплее)какая часть речи?

Для того, чтобы понять, к какой доли речи относится слово "теплее" в предложении, нужно выяснить, каким членом оно там является и к какому слову относится, то есть какое слово описывает. 

"Теплее" дано в форме сравнительной ступени, в сходственном виде в сравнительной ступени смотрятся три доли речи: прилагательное, слово категории состояния (СКС) и наречие. 

СКС всегда в предложении является сказуемым и никогда ни от чего не зависит, оно главное в предложении:

На улице тепло. На улице теплее. 

Наречие в предложении является обстоятельством (очень редко частью сказуемого), к нему всегда задаётся вопрос от глагола:

Он со мной сказал (как?) тепло. Но с тобой говорил (как?) теплее. 

Прилагательное в предложении может быть определением или долею составного именного сказуемого, но всегда описывает существительное или местоимение-существительное, то есть подлежащее либо прибавление.

Моя шуба (какая?) тёплая. Твоя шуба (какая?) теплее. 

В задании в предложении слово "теплее" является прилагательным, так как относится к составной доли сказуемого и описывает подлежащее:

Климат становился (каким?) то теплее, то холоднее.