Составьте уравнение касательной к графику функции y=x^3+2x в точке с абсциссой

Уравнение касательной к к графику функции f(x) в точке х = х0 имеет последующий вид:

у = f(x0) * (х - х0) + f(x0).

Как следует, для того, чтоб записать уравнение касательной к графику некой  f(x) в точке х = х0, нужно:

• отыскать, чему одинакова производная данной функции f(x);
• вычислить значение производной этой функции в точке х0;
• вычислить значение самой функции в точке х0;
• записать уравнение касательной.

При решении данной задачи будем действовать по этой схеме.

Обретаем производную функции  f(x) = x + 2x 

Для нахождения производной данной функции воспользуемся последующими фактами:

• производная суммы функций одинакова сумме сумме производных этих функций;
• производная от творенья функций и некого числа равна творению этого числа и производной функции;
• производная степенной функции у = х^р рассчитывается по формуле у = pх^р-1.

Используя данные утверждения, находим производную функции y = x + 2x.

Данная функция является суммой двух функций у = x  и у = 2х.

Производная первой функции одинакова:

у = (x) = 3x.

Производная 2-ой функции одинакова:

у = (2х) = 2.

Как следует, производная функции y = x + 2x одинакова:

f(x) = (x + 2x) = (x) + (2х) = 3x + 2.

Обретаем значение производной функции f(x) = x + 2x в точке x = -1

Подставляя значение х = -1 в выражение для производной функции f(x) = 3x + 2, получаем:

f(-1) = 3 * (-1) + 2 = 3 + 2 = 5.

Находим значение самой функции f(x) = x + 2x в точке x = -1

Подставляя значение х = -1 в выражение уравнение функции f(x) = x + 2x, получаем:

 f(-1) = (-1) + 2 * (-1) = -1 - 2 = -3.

Записываем уравнение касательной

Подставляя все отысканные значения в общее уравнение касательной для функции f(x), получаем:

у = 5 * (х - (-1)) + (-3);

у = 5 * (х  + 1) - 3;

у = 5х + 5 - 3;

у = 5х + 2.

Ответ: разыскиваемое уравнение касательной у = 5х + 2.

1. Уравнение касательной по общей формуле имеет вид:

у = f ( x0 ) + f ( x0 ) ( x - x0 );

2. Найдем f(x0):

f( - 1) = ( - 1)3 + 2 ( - 1) = - 1 - 2 = - 3;

3. Найдем производную f (x):

f (x) = 3х2 + 2;

4. Найдем производную f (x0):

f ( -1) = 3 ( - 1)2 + 2 = 3 + 2 = 5;

5. Полученные данные подставляем в уравнение касательной:

у= f ( x0 ) + f ( x0 ) ( x - x0 ) = - 3 + 5 ( х + 1) = - 3 + 5х + 5 = 5х + 2.

Ответ: у = 5х + 2.