Обоснуйте, что при любом натуральном значении n значение выражения (n-1)(n+1)-(n-7)(n-5) кратно

   1. Пусть:

• f(n) = (n - 1)(n + 1);
• g(n) = (n - 7)(n - 5).

   Докажем, что разность двух функций кратна 12 при натуральных значениях n.

   2. Преобразуем каждую функцию, раскрыв скобки и приведя подобные члены:

   1) f(n) = (n - 1)(n + 1) = n^2 - 1.

   Было применена формула:

      a^2 - b^2 = (a + b)(a - b).

   2) g(n) = (n - 7)(n - 5) = n^2 - 5n - 7n + 35 = n^2 - 12n + 35.

   3. Обретаем разность функций:

• h(n) = f(n) - g(n);
• h(n) = (n^2 - 1) - (n^2 - 12n + 35) = n^2 - 1 - n^2 + 12n - 35 = 12n - 36;
• h(n) = 12(n - 3).

   Что и требовалось.